Случайная величина \(\displaystyle X\) имеет распределение:
Распределение \(\displaystyle X\)
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) |
| Вероятность | \(\displaystyle \frac{1}{8}\) | \(\displaystyle \frac{3}{4}\) | \(\displaystyle \frac{1}{8}\) |
Математическое ожидание \(\displaystyle X\) равно \(\displaystyle E(X)=1\small.\)
Найдите дисперсию и стандартное отклонение \(\displaystyle X\small.\)
Напомним определение стандартного отклонения случайной величины
Стандартное отклонение
Стандартным отклонением случайной величины \(\displaystyle X\) называется корень из дисперсии
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}\small.\)
Тогда сначала вычислим дисперсию.
Зная математическое ожидание, найдем квадраты отклонений:
| Значение \(\displaystyle X\) \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-E(X))\) | Квадрат отклонения | Вероятность \(\displaystyle P(X=x)\) |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0-1=-1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) | \(\displaystyle \frac{1}{8}\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1-1=0\) | \(\displaystyle 0^2=0\) | \(\displaystyle \frac{3}{4}\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2-1=1\) | \(\displaystyle 1^2=1\) | \(\displaystyle \frac{1}{8}\) |
Складывая произведения значений в третьем и четвертых столбцах, найдем дисперсию:
\(\displaystyle D(X)=1\cdot\frac{1}{8}+0\cdot\frac{3}{4}+1\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\small.\)
Тогда стандартное отклонение равно корню из дисперсии:
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\small.\)